Bögen und Gewölbe: Statisches Gleichgewicht und kinematisches Versagen – Tragwerksplanung im historischen Bestand

Nachhaltigkeit bedeutet, am Bestand weiterzuarbeiten. Der Weiterentwicklung der bestehenden Bausubstanz gilt folglich das vertiefte Augenmerk. Nur wenn Bauwerke 200 Jahre statt 30 Jahre den technischen und funktionellen Anforderungen entsprechen, ist der Begriff „Nachhaltigkeit“ zulässig.

Im Rahmen der Tragwerksplanung ist es folglich notwendig, die bestehenden Tragstrukturen eingehender zu behandeln und folglich Traglastreserven auszunutzen. Ansonsten weicht der Bestand dem Neubau oder Teilneubau. Der Bestand ist dann nur noch, insofern ersetzt, ergänzt oder überbaut – sinnloser – Schein ohne Tragfunktion. Gerade das, was die „Neue Sachlichkeit“ seit dem Bauhaus – eigentlich – ablehnt, aber en masse praktiziert. Nur wenn die Projektentwicklung sich auf das bestehende Tragwerk und nicht auf die grenzenlose Phantasie stützt, entstehen Bauwerke mit Tiefgang, Effizienz und historischer Würde. Heute eine seltene Ausnahme.

Das Verständnis für den historischen Bestand ist aufwändig, schwierig und komplex. Folglich ist der Weg des geringsten Widerstandes der einfachere – aber nicht der nachhaltigere.

Statik der Bögen:

Der Bogen reagiert als auf Zugspannungen aus Momentenbeanspruchung, indem sich Risse öffnen, die folglich als lokale plastische Gelenke wirken. Aus dem elastischen Bogen ergibt sich folglich nach Rissöffnung ein Starrkörpersystem. Ist der Dreigelenkbogen noch statisch bestimmt, so wirkt sich die Heranbildung eines vierten Gelenks negativ auf die Stabilität aus, weil dadurch eine kinematische Kette entsteht, welche das statische Gleichgewicht gefährdet.

Die Frage, welches Rissbild und welches effektive statische System sich ausbilden, hängt dabei von der Laststellung ab. Da Mauerwerk grundsätzlich die Lasten nicht verteilen kann, ergibt sich das statische System, das im Mauerwerk wirkt, aus der Laststellung sowie aus den Auflagerkräften. Beim Mauerwerksbogen ist folglich je nach Laststellung und nicht nach geometrischen Eigenschaften eine entsprechende Querschnittsfläche anzusetzen.

Holzer schreibt zum statischen System, das sich im Bogen als Stützlinie bildet: „Da bei der Berechnung der Stützlinie die Querkraft nicht eingeht, ist die Stützlinie zur Beurteilung der Sicherheit gegen Gleiten ungeeignet. Umgekehrt ist strenggenommen die Seillinie (wie die Kettenlinie) ungeeignet zur Beurteilung der Sicherheit des gemauerten Bogens gegen Bilden eines Gelenkmechanismus. Die Seillinie gibt an, welche Form der Bogen haben müsste, um die vorhandenen ortsfesten Lasten ohne Biegemomente abtragen zu können. Sie verläuft daher immer steiler als die Stützlinie, die als einzige Kurve angibt, ob der Bogen unter Berücksichtigung seiner Biegesteifigkeit die gegebenen Lasten abtragen kann“ [4].

Die Stützlinie bezeichnet die Druckresultierende.

Die Frage ist immer noch, wo sich die Gelenke konkret herausbilden, weil es unendlich viele potentielle Positionen gibt. Ähnlich wie in der Geotechnik müssen folglich unzählige Systeme berechnet werden, um dabei jenes System zu ermitteln, bei dem die geringste Sicherheit gegeben ist. Je nachdem, ob das System eher durch Auflagerverschiebung oder Druck von außen versagt (Erddruck), kommen bestimmte Gelenkverteilungen real in Frage. Die Last wird so lange gesteigert, bis die Stützlinie die Bogenkontur berührt und sich folglich ein neues Gelenk einstellt.

Weil der Rechenaufwand groß ist, werden die Gelenkpositionen beim Dreigelenkbogen nach Erfahrung festgelegt, verschiedene Varianten gerchnet und – eventuell – in der Wirklichkeit am Rissbild überprüft. Die Modellierung erfolgt mit Exzentrizitäten, weil sich aus diesen die problematischen Momentenbeanspruchungen ergeben.

Grundsätzlich stellt sich das Versagen beim Bogen im Regelfall durch Instabilität der Widerlager oder übermäßige Auflagerverschiebung ein. Problematisch ist zudem die mangelnde Druckbelastung, sodass die Reibungskraft zwischen den Steinen nicht mehr gegeben ist. In den Lagerfugen kann das Mauerwerk nur den Zug übertragen, weil es überdrückt ist. Dass der Bogen folglich wegen erhöhter Druckbelastung versagt, ist eher unwahrscheinlich, weil vorher bereits ein anderweitiges Versagen auftritt.

Allerdings ist die Druckbeanspruchung doch wesentlich: „Für die Anwendbarkeit des statischen Traglastsatzes ist die Einhaltung der Druckfestigkeit essentiell. Die Druckfestigkeit gibt vor, wie nahe das Gelenk an den Rand rücken kann“ [4]. Und weiter: „Man unterstellt damit, dass im Gelenk die
Druckzone voll ausgenutzt ist und sich ein rechteckiger Spannungsblock einstellt“.

Faktisch muss in der Modellrechnung der Spannungsblock der Druckkraft auf zumindest 1/3 des Querschnitts anwendbar sein, es gilt dabei die Rücksetzregel bei exzentrischer Momentenbeanspruchung [2] & [6]. Die Anwendbarkeit der Rücksetzregel ist allerdings nur gegeben, insofern konstruktive Maßnahmen gegen Versagen des statischen Systems getroffen sind.

Hinzu kommt eine Vereinfachung, wodurch die Spannungsproblematik eigentlich eine Problematik der Ermittlung des Bogenschubs wird: „Der nachgiebigste Dreigelenkbogen ist genau jener, der den maximalen Bogenschub auf seine Widerlager ausübt: Je steifer der Bogen ist, desto mehr Energie wird im Inneren durch Biegung, Längsverformung und Schubverzerrung abgebaut; ein steifer Bogen braucht weniger horizontale Abstützung als ein weicher. Um verschiedene zulässige Dreigelenkkonfigurationen vergleichend zu beurteilen, reicht es also aus, den zugehörigen Bogenschub zu berechnen“ [4].

Statik der Gewölbe:

Das Gewölbe ist ein gekrümmtes Flächentragwerk. Im elastischen Gewölbe stellt sich ein Druckbereich oben und in ein Zugbereich unten ein. Der untere Bereich des Gewölbes will ausbauchen. Weil der Zug nicht durch den Werkstoff Mauerwerk aufgenommen werden kann, entstehen vertikale Meridionalrisse und folglich das altbekannte nichtlineare Verhalten.

Ähnlich wie beim Bogen ist die Analyse des Rissmechanismus wesentlich, um daraus ein statisches System abzuleiten. Zu unterscheiden sind allerdings die Arten von Gewölben: Das Tonnengewölbe (volta a botte) wirkt als ein flächiger Bogen, während sich im Kreuzgewölbe (volta a crociera) die Diagonalen lastableitend herausbilden und im Klostergewölbe (volta a padiglione) umgekehrt überkreuzende Bögen, die die Kräfte nicht in den Diagonalen, sondern in den Kappen konzentrieren.

Literatur:

[1] Hubert Karl Hilsdorf: „Untersuchungen über die Grundlagen der Mauerwerksfestigkeit“, Materialprüfamt für das Bauwesen der Technischen Hochschule München, München 1965

[2] Wolfram Jäger und Gero Marzahn: „Mauerwerk“, Ernst und Sohn Verlag, Berlin 2010

[3] Mario Como: „Statica delle costruzioni storiche in muratura“, Aracne editrice, Ariccia (RM) 2016

[4] Stefan M. Holzer: „Statische Beurteilung historischer Tragwerke: Band 1“, Ernst und Sohn Verlag, Hoboken 2013

[5] Andreas Kolbitsch: „Altbaukonstruktionen – Charakteristika, Rechenwerte, Sanierungsansätze“, Springer-Verlag, Wien 1989

[6] Alfred Pauser: „Weiterführende Überlegungen zur Bemessung von Gewölben“, Wien 1996

Ein Kommentar zu „Bögen und Gewölbe: Statisches Gleichgewicht und kinematisches Versagen – Tragwerksplanung im historischen Bestand

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