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Elasto-statische Stabilitätstheorie

Stabilitätsprobleme sind Tragwerksverhaltensweisen, die das lineare Verhalten des Tragwerks überschreiten und bei denen die Verformung das Tragwerksverhalten ganz wesentlich bedingt.

Beim Verzweigungslastproblem als Stabilitätsproblem wird davon ausgegangen, dass neben der unverformten Gleichgewichtslage eine infinitesimal benachbarte, ausgeknickte Gleichgewichtslage, besteht. Im Last-Verformungs-Diagramm kommt es zu einer Verzweigung. Die Rede ist dann von der kritischen Kraft oder Spannung, ab welcher es – theoriegemäß – zum Stabilitätsproblem kommt, weil neben dem stabilen Gleichgewicht ein labiles Gleichgewicht besteht.

Die Ermittlung der Schnittkräfte erfolgt am unverformten System. Für die Tragelemente wird sodann ein Stabilitätsnachweis am Ersatzstab (Ersatzstabverfahren) mit der Knicklänge nach der Knickfigur des Gesamtsystems durchgeführt.

Alternativ kann der Stabilitätsnachweis allerdings auch als Grenztragfähigkeitsnachweis nach Theorie II. Ordnung erfolgen, was – mittels moderner Bemessungsprogramme – eine effizientere Lösung bedeutet. Das Verzweigungslastproblem bildet nämlich die obere Schranke des elasto-statischen Spannungsproblems II. Ordnung. Imperfektionen (Geometrische Imperfektionen wie Systemschiefstellung und Vorkrümmung, aber auch Eigenspannungen als strukturelle Imperfektionen) werden räumlich angesetzt.

In der Baustatik bezeichnet die Theorie I. Ordnung ein unverformtes, lineares System. Theorie II. Ordnung bezeichnet hingegen ein verformtes System mit „kleinen“ Verformungen, die die Querschnittshöhe sowie Durchbiegungen bis 20 Grad Neigungswinkel nicht überschreiten. Die Verformungen haben Auswirkungen auf die Schnittkräfte. Typischerweise wird die Theorie im Zuge von Stabilitätsproblemen verwendet. Die Theorie III. Ordnung mit großen Verformungen und großen Neigungswinkeln bezeichnet eine geometrisch nichtlineare Beschreibung des Balkens und wird bei Systemen durchgeführt, die sich stark verformen, etwa Membranen.

Die Gleichgewichtsbedingungen werden am verformten System aufgestellt, wodurch Verformungsmomente entstehen. Vor Erreichen der Grenztragfähigkeit treten folglich (erhebliche) Verformungen auf. Der Stabilitätsnachweis reduziert sich dadurch allerdings auf ein Spannungsproblem, was vorteilhaft ist und die strikte Trennung zwischen Querschnittstragfähigkeit und Stabilität überschreitet. Die Verformungen und auch die Schnittkräfte fallen dadurch zwar höher aus, doch die Instabilität wird erst nach höherer Last erreicht, sodass Tragwerksreserven in Anspruch gesetzt werden.

Plasto-statische Stabilitätstheorie

Werden reale Grenzlasten angestrebt, ist es notwendig, die Materialeigenschaften im Detail zu berücksichtigen. Bei Erreichen der Fließgrenze ist der ideal-elastische Grenzwert erreicht. Nach Überschreiten der Grenze breitet sich die Plastizierung im Querschnitt sowie im Stab aus, die Verformungen nehmen überproportional zu.

Stabilitätsprobleme bei Rahmen

Befasst man sich mit Stabilitätsproblemen, ist der Rückgriff auf die Knicklängen nach Euler opportun. Geht es allerdings nicht um einen ebenen Stab, sondern um ein Rahmensystem, ist die Sachlage wesentlich komplexer.

In der Regel werden unverschiebliche Rahmen auf einen Einzelstab reduziert, indem der Riegel in Form von Drehfedern mit einer entsprechenden Steifigkeit berücksichtigt wird. Dies geschieht mathematisch durch Lösung von Differentialgleichungen, wobei im unverschieblichen Fall die Randbedingung für die Weggleichung null ist. Unverschiebliche Systeme knicken zwischen den Knoten aus.

Bei verschieblichen Rahmen ist die Randbedingung der Natur der Sache folgend nicht mehr null. Verschiebliche Rahmen sind wesentlich weicher und stabilitätsgefährdeter.

Literatur:

[1] Christian Petersen: „Statik und Stabilität der Baukonstruktionen Elasto- und plasto-statische Berechnungsverfahren druckbeanspruchter Tragwerke: Nachweisformen gegen Knicken, Kippen, Beulen“, Vieweg Verlag, Wiesbaden 1982