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Grundsätzlich kann der Mohrsche Spannungskreis für einen gegebenen, ebenen Spannungszustand P (σ_x, σ_y, τ_xy) konstruiert werden.

Die Hauptspannungen ergeben sich als die extremen Spannungszustände, die sich am Mohrschen Kreis in Abwesenheit einer Schubspannung ergeben (σ₁, σ₃).

Die Richtungen der Hauptspannungen ergeben sich für einen gegebenen Punkt P durch die folgenden Richtungsbeziehungen. Ebenso sind für jede beliebige Richtung n die jeweiligen Spannungen zu ermitteln.

Modellbildung in der Felsmechanik

Eine Modellentwicklung ist im Felsbau aufgrund der sehr unterschiedlichen geologischen Bedingungen äußerst komplex.

Angenommen wird grundsätzlich eine linear-elastische Spannungsdehnungsbeziehung unterhalb der Grenzspannung, also der Festigkeitsgrenze. Mit Erreichen der Grenzspannung geht das Verhalten in eine nichtelastische-irreversible Spannungsdehnungsbeziehung über, wo Dehnungen entweder unbegrenzt anwachsen (Versagen) oder begrenzt bleiben, weil sich ein neuer Gleichgewichtszustand einstellt.

Geht man davon aus, dass sich das Verhalten von Gestein aus dem Grundmaterial (Komponente A) sowie aus dem Trennflächengefüge (Komponente B) zusammensetzt, ergeben sich komplexe Beziehungen sowie der Umstand, dass die Gebirgsfestigkeit in jedem Fall geringer ist als die Gesteinsfestigkeit.

Die einfachste Modellvariante ist ein isotropes, elastisches Materialverhalten, das allerdings im Falle von Gestein sehr selten auftreten wird. Eine Modellverfeinerung besteht darin, fünf Elastizitätskonstanten (2 Elastizitätsmodule, 1 Schubmodul und 2 Poisson-Zahlen für die Querkontraktion) anzulegen. Nach Erreichen der Grenzzspannung ist hingegen ein viskoelastisches Verhalten naheliegend.

Schergesetz nach Mohr-Coulomb

Die Spannungen, die aus einem dreiaxialen Druckversuch resultieren, lassen sich in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm darstellen. Faktisch handelt es sich dabei um statistische Auswertungen der Spannungsverteilung. Ausgehend von einer konstanten Seitenspannung wird die Hauptspannung in Achsrichtung dermaßen erhöht, dass sich ein Bruch einstellt.

Hauptspannungen sind die Normalspannungen, die in den Richtungen wirken, in denen die Schubspannungen gleich null sind. Diese Richtungen ändern sich von Punkt zu Punkt im Material und bilden die Hauptspannungstrajektorien, die ein Spannungsfeld in einem Körper grafisch darstellen.

Im dreidimensionalen Fall treten drei Mohrsche Spannungskreise auf. Alle zulässigen Spannungskombination stellen sich innerhalb des größten und außerhalb der kleineren Kreise ein (grau hinterlegter Bereich).

Durch Auftragen mehrerer Mohrscher Spannungskreise erhält man als tangentielle Einhüllende die Mohr-Coulombsche Schergerade als Bruchkriterium.

Die Beschreibung der Einhüllenden mit einer Gerade entspricht zahlreichen Versuchen mit dreiaxialen Druckversuchen. Eine Abweichung von der Linearität ist in den meisten Fällen nicht begründet. Im Diagramm werden die Kohäsion sowie der Winkel der inneren Reibung ersichtlich.

Oberhalb der Bruchgeraden liegt ein Scherbruch vor. Wird die Bruchgerade erreicht, dann vollzieht sich eine Spannungsumlagerung oder ein Fließen.

Freie Felsböschungen

Wird eine Steilböschung angelegt, so wird ein Teil des Gebirges aus dem Gleichgewicht versetzt. Ein dreidimensionaler Spannungszustand steht durch das Einstellen einer freien Oberfläche, an der die Hauptspannungen sich aufheben, nicht mehr zur Verfügung. Durch den Abtrag von Felsmassen werden gleichzeitig auch Widerstände abgebaut.

Am Mohrschen Spannungskreis wird ersichtlich, dass in Analogie zum Mohrschen Kreis weiter oben, die Hauptspannung σ₁ gleich null wird. Dadurch kann sich die Hauptspannung σ₃ nicht mehr in jenem Ausmaß ausbilden, weil die Grenzkurve weitaus früher berührt wird, mit der sich eine Spannungsumlagerung einstellt.

Aus den Spannungsumlagerungen folgen mangels Widerstand größere Querdehnungen (und Ausbauchungen), sodass die Auflockerung zunimmt, die Spannungstrajektorien weiter umgelenkt werden und eine Spannungskonzentration am Böschungsfuß bewirkt wird, der zum Versagen tendiert. Ein Nachdrängen der Gesteinsmassen, eine stärkere Erosion sowie das Bergwasser erhöhen die Querdehnung. Fatal wirkt sich der Mechanismus aus, insofern tektonische Spannungen hinzukommen.

Mit der Auflockerung werden große Querdehnungskoeffzienten bewirkt. Bereits bei relativ geringen Vertikalspannungen vollzieht sich eine Annäherung an den Grenzzustand des einachsigen Spannungszustandes, wodurch die Beanspruchbarkeit drastisch abnimmt und die Tendenz zum Abgleiten zunimmt.

Literatur:

[1] Walter Wittke: „Felsmechanik – Grundlagen für wirtschaftliches Bauen im Fels“, Springer Verlag, Berlin Heidelberg 1984

[2] Leopold Müller: „Der Felsbau – Felsbau über Tage 1. Teil“, Springer Verlag, Heidelberg 1963

[3] Leopold Müller: „Der Felsbau – Felsbau über Tage, 2. Teil A“, Springer Verlag, Heidelberg 1992

[4] Leopold Müller: „Der Felsbau – Felsbau über Tage, 2. Teil B“, Springer Verlag, Heidelberg 1995

[5] Leopold Müller: „Der Felsbau – Band 3 Tunnelbau“, Springer Verlag, Heidelberg 1978

[6] Edwin Fecker: „Baugeologie“, Springer Spektrum, Berlin 2019