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Die Auswertung von Niederschlagsereignissen ist sowohl im Bereich der Wasserversorgung, aber auch im Bereich der Hochwasservorsorge von zentraler Bedeutung. In Zeiten klimatischer Veränderungen, in denen Extremitäten wie Trockenheit und Starkregen zunehmen, ist es von Bedeutung, hydrologische Zusammenhänge im Blick zu behalten.

Wesentlich ist im Bereich der Niederschläge die Auswertung von Einzelereignissen, die von hydrografischen Diensten durchgeführt wird: Verglichen werden unterschiedlich große Niederschlagsereignisse (Intensität i in mm/h, Höhe h in mm und Dauer T in h).

Hüllkurven hüllen Extremereignisse in einem Diagramm ein, etwa in einem Niederschlagshöhe-Niederschlagsdauer-Diagramm. In diesem Sinne ergibt sich die höchste erwartbare Niederschlagsintensität je Niederschlagsdauer.

Weil Niederschlagsereignisse natürlich nur in bestimmten Messstationen gemessen werden, sind Methoden verfügbar, welche die Ereignisse basierend auf gewichteten Polygonen, auf die Fläche projizieren.

Grundgesamtheit

Um mit so genannten Bemessungsniederschlagsereignissen zu rechnen, werden bestimmte Bezugsfenster betrachtet. In diesen Bezugsfenstern, etwa mit dem Bezugsfenster 6 Stunden, werden die Niederschlagsintensitäten in Bezug auf Zeitschritte aufgetragen. Innerhalb solcher Bezugsfenster ist die mittlere Niederschlagsintensität berechenbar. Trägt man die entsprechenden Niederschlagsintensitäten je Bezugsfenster in einer Jahresstatistik auf, ist der Maximalwert je Jahr ablesbar. In diese Sinne werden alle Ereignisse mit geringem Niederschlag ausgeblendet, es handelt sich um eine Extremwertanalyse.

Da ein Niederschlagsereignis eine Zufallsvariable darstellt, ist eine Wahrscheinlichkeitsberechnung notwendig. Eine Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der eingetretenen Fälle in Bezug auf die Gesamtzahl der Fälle. Zu unterscheiden ist zwischen einer Grundgesamtheit und einer Stichprobe.

In Bezug auf die Grundgesamtheit hat die Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) eine Fläche mit dem Wert 1. Für einen bestimmten Wert gibt die die Fläche unter der Funktion (Integral) die Überschreitungswahrscheinlichkeit oder Unterschreitungswahrscheinlichkeit an. Das Integral der Dichtefunktion kann als Verteilungsfunktion F(x) aufgetragen werden und liefert folglich auf der Ordinate für jeden Abszissenwert die Unterschreitungswahrscheinlichkeit an.

Die Jährlichkeit T ist der Kehrwert der Überschreitungswahrscheinlichkeit: Ein T-jährliches Ereignis tritt einmal in T Jahren auf.

Stichproben

In der Praxis stehen Gesamtheiten natürlich nicht zur Verfügung und es geht wohl oder übel darum, mit begrenzten Daten, also mit Stichproben, zu rechnen.

Die Häufigkeitsverteilung (Histogramm) drückt aus, wie oft bestimmte Werte in Relation zur Anzahl der Werte auftreten. Die Häufigkeitsverteilung wird durch die relative Häufigkeit fs(x) dargestellt. Die Summe der Werte ergibt 1. Das Aufsummieren der relativen Häufigkeiten ergibt die Summenhäufigkeit FS(x), die in Summe den Wert 1 ergibt. Berechnet wird die empirische Jährlichkeit als TS = 1 / (1-FS(x)), die eine Schätzung für die Jährlichkeit T der Grundgesamtheit darstellt.

In der Praxis erfolgt ein Sortieren von Messwerten der Zufallsvariable x vom größten Wert, dem m=1 zugewiesen wird, zum kleinsten Wert mit m=N als die Anzahl der Stichprobenwerte. Folglich handelt es sich um ein Diagramm, das mit dem größten Wert m beginnt und zum kleinsten Wert m=N abnimmt, in der Ordinate sind die entsprechenden Werte x der Zufallsvariable aufgetragen. Berechnet wird die empirische Jährlichkeit: TS = (N+1)/m. Indem auf einem Diagramm in der Ordinate wiederm der Wert x der Zufallsvariable, auf der Abszisse allerdings der Wert der empirischen Jährlichkeit aufgetragen wird, ergibt sich die Summenhäufigkeit.

Durch statistische Schätzungen wird von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit geschlossen. Dies erfolgt einerseits durch Wahl einer Verteilungsfunktion (zum Beispiel die Gumbelfunktion) und Bestimmung der Parameter (etwa Momentenmethode oder Maximum-Likelihood-Methode), die in die Verteilungsfunktion einfließen. Die Momentenmethode ist eine mathematische Methode, welche Stichprobe und Grundgesamtheit auf Momentenebene annähert.

Eine Verteilungsfunktion hat einen bestimmten Mittelwert und eine bestimmte Standardabweichung. Daraus ergeben sich über die Momentenmethode die Parameter c und d, die für die Verteilungsfunktion nach Gumbel (Gumbelverteilung) erforderlich sind.

Die Hochwasserwahrscheinlichkeit ergibt sich für eine bestimmte Jährlichkeit T wie folgt:

Dabei ist σ die Standardabweichung und μ der Mittelwert.

Wesentlich ist sodann die Interpretation statistischer Ergebnisse. Dazu gehört beispielsweise die Bewertung von Ausreißern. Dazu werden die Werte auf Plausibilität bewertet, etwa durch Vergleich anderer Messstationen zum gleichen Ereigniszeitpunkt sowie unter Betrachtung anderer extremer Ereignisse, auch regional. Ein weiteres Problem sind kurze Datenreihen, womit die Übertragung von Stichproben auf die Grundgesamtheit natürlich beeinträchtigt ist. Gerade durch Übertragen von kurzen Datenreihen auf hohe Jährlichkeiten ergibt sich eine hohe Ungenauigkeit. Hier werden bestenfalls regionale Messwerte analysiert, historische Hochwasserereignisse miteinbezogen und Abflussmodelle zur Plausibilisierung rückgerechnet.

Wie Wasser nachhaltig gewonnen wird

Literatur:

[1] Robert Schmied: „Statistik für Ingenieure“, Universität der Bundeswehr, München 2024

[2] Heinz Patt & Robert Jüpner (Hrsg.)“Hochwasser-Handbuch – Auswirkungen und Schutz“, Springer-Verlag, Wiesbaden 2020

[3] Günter Blöschl: „Ingenieurhydrologie“, Technische Universität Wien, Wien 2017

[4] Ulrich Maniak: „Hydrologie und Wasserwirtschaft“, Springer Vieweg, Wiesbaden 2016